映射与集合论

映射#

$<==>$ A中不同元素在f下的像不相等
$<==>$ 像相等可以推出被映射的元素相等

$<==>\forall b∈B,∃a∈A, s.t.$ $b=f(a)$

既是单射又是满射,称为双射

数域 $\mathbb{K}$ 上的两个有限维线性空间 $V$ 和 $V'$ 同构
$<==>\dim V$ = $\dim V'$
并且满足交换律结合率

$dim (V_1 +V_2)=dim V_1 +dim V_2 - dim (V_1 \cap V_2)$

$\mathbb{K}$ 上任一 $n$ 维线性空间都有:

V \cong \mathbb{K}

$f: A \rightarrow B$ $g: B \rightarrow C$
则称 $gf: A \rightarrow C$
$(gf)(a) =g(f(a)),∀a∈A$
$gf$ 是 $g$ 与 $f$ 的乘积
映射乘法满足结合率,不满足交换律

if $f: A \longrightarrow A$
$x \longmapsto x$
则称 $f$ 是 $A$ 的一个恒等变换,并记作:

1_A

设 $f: A \longrightarrow B$
if $∃g:B \longrightarrow A$ $s.t.$ $gf=1_A$ $fg=1_B$
则称 $f$ 为可逆映射, $g$ 是 $f$ 的逆映射
并显然有: $f^{-1}$ 唯一

$f: A \rightarrow B$ 可逆 $<==>f$ 是双射

if $S$ 是由自身的非空子集的并集构成,且这组非空子集的交集是 $\varnothing$
则称这些子集是 $S$ 的一个划分

设 $S\neq \varnothing$ , $W$ 是 $S\times S$ 的一个子集
则称 $W$ 是 $S$ 上的一个二元关系
如果 $(a,b)∈W$ 则称 $a$ 与 $b$ 有 $W$ 关系
记作:

a \underset{W}{\sim} b

或者

a\sim b

$S$ 的一个二元关系若满足:

a \sim a,∀a∈S(反身性)

a\sim b==>b\sim a(对称性)

a\sim b,b\sim c,==>a\sim c(传递性)

那么我们称 $\sim$ 是 $S$ 的一个等价关系