’梦‘

Mon, 25 May 2026 00:00:00 GMT

昨晚做梦，梦见自己穿越回了小时候，也带着当时不应该存在的妹妹一块回去了，带着一个本不应该出现的东西，自己用废纸自制的相片袋，上面印着刚好是我穿越的时间点的麦当劳优惠券，毕竟当时能吃一顿麦当劳也很不容易，和小姨高高兴兴的分享，后面发生的事随着我的睁眼而烟消云散，再无记忆. 这种做梦做一半没做完的情况高中一直在发生，每次都很可惜又无奈．梦中，我仿佛真的回到了小时候，回到了那个科技不是很发达的时代，回到了那个没有AI的时代，回到了那个年味很足的时代，那个模糊于我记忆中的时代。我经常会在深夜感到emo，但是有不能控制自己的这种情绪，每次回味往事都会想哭。人生总有遗憾，时光不会逆流，该向前看还是得向前看，让那些回忆埋葬在脑海的深处吧，偶尔拉出来遛遛，不能让回忆阻碍我们的成长。向前看吧，与君共勉。

映射与集合论

Sun, 24 May 2026 00:00:00 GMT

映射

单射

$<==>$A中不同元素在f下的像不相等 $<==>$像相等可以推出被映射的元素相等

满射

$<==>\forall b∈B,∃a∈A, s.t.$ $b=f(a)$

双射

既是单射又是满射,称为双射

结论

定理1

数域$\mathbb{K}$上的两个有限维线性空间$V$和$V'$同构 $<==>\dim V$=$\dim V'$ 并且满足交换律结合率

定理2

$dim (V_1 +V_2)=dim V_1 +dim V_2 - dim (V_1 \cap V_2)$

推论

$\mathbb{K}$上任一$n$维线性空间都有: $$ V \cong \mathbb{K} $$

定义1

$f: A \rightarrow B$ $g: B \rightarrow C$ 则称$gf: A \rightarrow C$ $(gf)(a) =g(f(a)),∀a∈A$ $gf$是$g$与$f$的乘积 映射乘法满足结合率,不满足交换律

定义2

if $f: A \longrightarrow A$ $x \longmapsto x$ 则称$f$是$A$的一个恒等变换,并记作: $$ 1_A $$

定义3

设$f: A \longrightarrow B$ if$∃g:B \longrightarrow A$ $s.t.$ $gf=1_A$ $fg=1_B$ 则称$f$为可逆映射,$g$是$f$的逆映射 并显然有:$f^{-1}$唯一

定理1

$f: A \rightarrow B$可逆 $<==>f$是双射

集合论

定义1

if $S$是由自身的非空子集的并集构成,且这组非空子集的交集是$\varnothing$ 则称这些子集是$S$的一个划分

定义2

设$S\neq \varnothing$ ,$W$是$S\times S$的一个子集 则称$W$是$S$上的一个二元关系 如果$(a,b)∈W$则称$a$与$b$有$W$关系 记作: $$ a \underset{W}{\sim} b $$ 或者 $$ a\sim b $$

定义3

$S$的一个二元关系若满足: $$ a \sim a,∀a∈S(反身性) $$ $$ a\sim b==>b\sim a(对称性) $$ $$ a\sim b,b\sim c,==>a\sim c(传递性) $$ 那么我们称$\sim$是$S$的一个等价关系

大物学习里程

Sun, 24 May 2026 00:00:00 GMT

image source: Gemini Pro

本文章旨在分享基础大物知识

Preface

转动惯量I可以类比为质量，皆如下表所示：

物理概念	平动	转动
惯性量度	质量$m$	转动惯量$I$
速度量度	速度$v$	角速度$\omega$
核心动力学方程	$F = ma$	$\tau = I\alpha$
动能表达	$E_k = \frac{1}{2}mv^2$	$E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$
做功形式	$W = \int F \mathrm{d}x$	$W = \int \tau \mathrm{d}\theta$
状态量度	动量：$p = mv$	角动量：$L = I\omega$
守恒定律条件合外力	$F=0 \implies$ 动量守恒	合外力矩 $\tau=0 \implies$ 角动量守恒

刚体转动惯量

转动惯量

$$ I = \int r^2 \mathrm{d}m $$

定义原因

假设一个刚体绕固定轴转动，角加速度为 $\alpha$。我们在刚体上取一个极小的质量微元 $\mathrm{d}m$。 这个微元到转轴的距离为 $r$。它的线加速度是 $a = r\alpha$。 根据牛顿第二定律 $F=ma$，推动这个微元转动所需的切向力为： $$ \mathrm{d}F = \mathrm{d}m \cdot a = \mathrm{d}m \cdot (r\alpha) $$ 力矩的定义是力臂乘以力（$\tau = rF$），所以这个微元受到的微元力矩是： $$ \mathrm{d}\tau = r \cdot \mathrm{d}F = r \cdot (\mathrm{d}m \cdot r\alpha) = (\mathrm{d}m \cdot r^2) \alpha $$ 刚体受到的总力矩 $\tau$，就是把所有微元的力矩积分加起来。因为整个刚体是一起转的，角加速度 $\alpha$ 是个常数，可以提出来： $$ \tau = \int \mathrm{d}\tau = \int (\mathrm{d}m \cdot r^2) \alpha = \left( \int r^2,\mathrm{d}m \right) \alpha $$

力矩

$$ \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} $$ 注意是矢量，并且单位是N·m不能写做J，J是标量; 基点就是方便研究问题的轴点

转动定律

$$ \tau = I \alpha $$

动能定理

$$ W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau \mathrm{d}\theta = \frac{1}{2}I\omega_2^2 - \frac{1}{2}I\omega_1^2 $$

角动量定理

微分形式: $$ \tau = \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} $$ 积分形式/冲量矩定理: $$ \int_{t_1}^{t_2} \tau \mathrm{d}t = L_2 - L_1 = I\omega_2 - I\omega_1 $$

角动量守恒定律

一个旋转系统不受外力矩作用,那么角动量守恒,即: $$ L = I \omega $$ 是一个常数

转动矢量

不好解释,找个被投影成此轨迹的圆,也就是找那个被投影的点的转动角,即: $$ \Delta t = \frac{\Delta \theta}{\omega} $$ 以下为AI:(多个方向同时做简谐运动也能用) 此时，质点在二维平面上画出来的运动轨迹，在物理学中被称为李萨如图形（Lissajous curve）。转动矢量法在这里可以通过“双参考圆”来完美破解： 1. 当频率相同时 ($\omega_x = \omega_y = \omega$)这等价于两个相互垂直的旋转矢量在同步转圈。它们之间的相位差 $\Delta\phi = \phi_y - \phi_x$ 决定了质点在平面上的轨迹： $\Delta\phi = 0$ 或 $\pi$：两个方向完全同步或完全相反，转动矢量在平面上投影出来的轨迹是一条直线（质点做直线简谐运动）。 $\Delta\phi = \frac{\pi}{2}$（即 $90^\circ$）：一个方向最大时另一个方向恰好为零。如果 $A_3 = A_4$，两个旋转矢量在平面上叠加出来的真实运动轨迹是一个完美的匀速圆周运动！ 其他角度：合成轨迹是一个歪着的椭圆。 2. 当频率不同时 ($\omega_x \neq \omega_y$) 这是转动矢量法最精妙的应用。如果两个旋转矢量一个转得快、一个转得慢，它们在 $x$ 轴和 $y$ 轴上投射出来的运动，会在平面上编织出极其交错复杂的魔幻图形（如“8”字形、蝴蝶形等）。 在实验中（比如用示波器），科学家只要数一数李萨如图形在水平和垂直方向上的切点个数比例，就能立刻反推出两个方向的频率之比： $$ \frac{\omega_x}{\omega_y} = \frac{Y\text{方向的切点数}}{X\text{方向的切点数}} $$ 直观理解: $x$ 方向的矢量：它每转完一整圈（$2\pi$ 弧度），在 $x$ 轴方向上就会分别到达最左端和最右端各一次。也就是说，它每转一圈，轨迹就会与左右边界各相切一次，总共贡献 2 个 $X$ 方向切点。 $y$ 方向的矢量：同理，它每转完一整圈，在 $y$ 轴方向上就会分别到达最顶端和最底端各一次。也就是说，它每转一圈，轨迹就会与上下边界各相切一次，总共贡献 2 个 $Y$ 方向切点。 设整个系统运动了一段总时间 $t$。在这个时间内： $x$ 方向的矢量转过的总圈数为：$N_x = \frac{\omega_x \cdot t}{2\pi}$ $y$ 方向的矢量转过的总圈数为：$N_y = \frac{\omega_y \cdot t}{2\pi}$

平行轴定理

$$ I = I_C + md^2 $$ Proof: 建立坐标系： 以刚体的质心 $C$ 为原点 $(0,0)$。那么任何一个质量微元 $\mathrm{d}m$ 的坐标为 $(x, y)$。它绕质心轴的转动惯量定义为： $$ I_C = \int (x^2 + y^2),\mathrm{d}m $$ 这条轴要与实际的轴平行 设实际的轴穿过$(d_x, d_y)$ 那么，同一个微元 $\mathrm{d}m$ 到这根实际存在的轴的距离平方就变成了： $$ r^2 = (x - d_x)^2 + (y - d_y)^2 $$ $$ I = \int \left( x^2 - 2x d_x + d_x^2 + y^2 - 2y d_y + d_y^2 \right) \mathrm{d}m $$ $$ I = \int (x^2 + y^2),\mathrm{d}m + \int (d_x^2 + d_y^2),\mathrm{d}m - 2d_x \int x,\mathrm{d}m - 2d_y \int y,\mathrm{d}m $$ 第一项就是 $I_C$ 第二项$d_x^2 + d_y^2 = d^2$ 是常数，提出来后变成 $d^2 \int \mathrm{d}m$，对全质量积分就是总质量 $md^2$ 第三第四项就是等效质心与质量的乘积,质心为原点,所以均为0 原公式得证

Fuwari

’梦‘